练习题
求下列等差数列的前n项和：
a) \(3 + 7 + 11 + 15 + ...\) (20项)
b) \(2 + 6 + 10 + 14 + ...\) (15项)
c) \(30 + 27 + 24 + 21 + ...\) (40项)
d) \(5 + 1 + (-3) + (-7) + ...\) (14项)
a) 首项 \(a = 3\)，公差 \(d = 4\)，项数 \(n = 20\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}\left(2 \times 3 + (20-1) \times 4\right)\)
\(S_{20} = 10 \times (6 + 76) = 10 \times 82 = 820\)
b) 首项 \(a = 2\)，公差 \(d = 4\)，项数 \(n = 15\)
\(S_{15} = \frac{15}{2}\left(2 \times 2 + (15-1) \times 4\right)\)
\(S_{15} = \frac{15}{2} \times (4 + 56) = \frac{15}{2} \times 60 = 450\)
c) 首项 \(a = 30\)，公差 \(d = -3\)，项数 \(n = 40\)
\(S_{40} = \frac{40}{2}\left(2 \times 30 + (40-1) \times (-3)\right)\)
\(S_{40} = 20 \times (60 - 117) = 20 \times (-57) = -1140\)
d) 首项 \(a = 5\)，公差 \(d = -4\)，项数 \(n = 14\)
\(S_{14} = \frac{14}{2}\left(2 \times 5 + (14-1) \times (-4)\right)\)
\(S_{14} = 7 \times (10 - 52) = 7 \times (-42) = -294\)
求下列等差数列的和：
a) \(5 + 7 + 9 + ... + 75\)
b) \(4 + 7 + 10 + ... + 91\)
c) \(34 + 29 + 24 + 19 + ... + (-111)\)
a) 首项 \(a = 5\)，公差 \(d = 2\)，末项 \(l = 75\)
先求项数：\(75 = 5 + (n-1) \times 2\)，得 \(n = 36\)
\(S_{36} = \frac{36}{2}(5 + 75) = 18 \times 80 = 1440\)
b) 首项 \(a = 4\)，公差 \(d = 3\)，末项 \(l = 91\)
先求项数：\(91 = 4 + (n-1) \times 3\)，得 \(n = 30\)
\(S_{30} = \frac{30}{2}(4 + 91) = 15 \times 95 = 1425\)
c) 首项 \(a = 34\)，公差 \(d = -5\)，末项 \(l = -111\)
先求项数：\(-111 = 34 + (n-1) \times (-5)\)，得 \(n = 30\)
\(S_{30} = \frac{30}{2}(34 + (-111)) = 15 \times (-77) = -1155\)
求使下列等差数列的和达到指定值的最少项数：
a) \(5 + 8 + 11 + 14 + ... = 670\)
b) \(3 + 8 + 13 + 18 + ... = 1575\)
c) \(64 + 62 + 60 + ... = 0\)
a) 首项 \(a = 5\)，公差 \(d = 3\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 5 + (n-1) \times 3\right) = 670\)
\(\frac{n}{2}(10 + 3n - 3) = 670\)
\(\frac{n}{2}(3n + 7) = 670\)
\(n(3n + 7) = 1340\)
\(3n^2 + 7n - 1340 = 0\)
解得 \(n = 20\)（舍去负值）
b) 首项 \(a = 3\)，公差 \(d = 5\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 3 + (n-1) \times 5\right) = 1575\)
\(\frac{n}{2}(6 + 5n - 5) = 1575\)
\(\frac{n}{2}(5n + 1) = 1575\)
\(n(5n + 1) = 3150\)
\(5n^2 + n - 3150 = 0\)
解得 \(n = 25\)（舍去负值）
c) 首项 \(a = 64\)，公差 \(d = -2\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 64 + (n-1) \times (-2)\right) = 0\)
\(\frac{n}{2}(128 - 2n + 2) = 0\)
\(\frac{n}{2}(130 - 2n) = 0\)
\(n(130 - 2n) = 0\)
解得 \(n = 0\) 或 \(n = 65\)，所以需要65项
求前50个偶数的和。
前50个偶数是：2, 4, 6, 8, ..., 100
首项 \(a = 2\)，公差 \(d = 2\)，项数 \(n = 50\)
\(S_{50} = \frac{50}{2}\left(2 \times 2 + (50-1) \times 2\right)\)
\(S_{50} = 25 \times (4 + 98) = 25 \times 102 = 2550\)
求使等差数列 \(7 + 12 + 17 + 22 + 27 + ...\) 的和超过1000的最少项数。
首项 \(a = 7\)，公差 \(d = 5\)
\(\frac{n}{2}\left(2 \times 7 + (n-1) \times 5\right) > 1000\)
\(\frac{n}{2}(14 + 5n - 5) > 1000\)
\(\frac{n}{2}(5n + 9) > 1000\)
\(n(5n + 9) > 2000\)
\(5n^2 + 9n - 2000 > 0\)
解得 \(n > 19.8\)，所以需要20项
等差数列的首项是4，前20项的和是-15。求公差和第20项。
已知：首项 \(a = 4\)，项数 \(n = 20\)，和 \(S_{20} = -15\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}\left(2 \times 4 + (20-1) \times d\right) = -15\)
\(10(8 + 19d) = -15\)
\(8 + 19d = -1.5\)
\(19d = -9.5\)
\(d = -0.5\)
第20项：\(u_{20} = 4 + (20-1) \times (-0.5) = 4 - 9.5 = -5.5\)
等差数列前3项的和是12，第20项是-32。求首项和公差。
设首项为 \(a\)，公差为 \(d\)
前3项和：\(S_3 = \frac{3}{2}\left(2a + (3-1)d\right) = 12\)
\(\frac{3}{2}(2a + 2d) = 12\)
\(3(a + d) = 12\)
\(a + d = 4\) (1)
第20项：\(u_{20} = a + (20-1)d = a + 19d = -32\) (2)
由(1)得：\(a = 4 - d\)
代入(2)：\(4 - d + 19d = -32\)
\(4 + 18d = -32\)
\(18d = -36\)
\(d = -2\)
\(a = 4 - (-2) = 6\)
证明前50个自然数的和是1275。
前50个自然数：1, 2, 3, ..., 50
首项 \(a = 1\)，公差 \(d = 1\)，项数 \(n = 50\)
\(S_{50} = \frac{50}{2}\left(2 \times 1 + (50-1) \times 1\right)\)
\(S_{50} = 25 \times (2 + 49)\)
\(S_{50} = 25 \times 51 = 1275\)
因此，前50个自然数的和是1275。
在解决等差数列求和问题时，要特别注意：
1. 正确理解题目中的"前n项"、"第n项"等概念
2. 当公差为负数时，数列是递减的，但公式仍然适用
3. 在求项数时，要确保结果是正整数
4. 综合题往往需要建立方程组求解